В школе всем объясняют, что на ноль делить нельзя, и кажется, что так было всегда. На самом деле к этому правилу шли долго, и одни из первых шагов сделали индийские математики и астрономы. Только с делением они разбирались около пятисот лет и к нынешнему ответу так и не пришли.
Правда, самый старый точно датированный знак нуля в той десятичной записи, которой мы пользуемся и сегодня, нашли не в Индии, а в Камбодже. Это кхмерская надпись 683 года, датированная по индийской эре шака, и ноль в ней поставлен точкой. Надпись опубликовали ещё в 1931 году, потом она затерялась, и только в 2013 году её снова отыскал исследователь Амир Ацель. Почти того же времени и надписи с Суматры, где ноль выглядит кружком, а самая ранняя бесспорно датированная индийская надпись с нулём, гвалиорская, моложе их почти на два века. Только это самые старые камни с датой из тех, что дошли до нас, а не место, где придумали ноль. Правила обращения с нулём, записанные в Индии, старше этих камней на полвека.
Да и пустое место в записи числа отмечали и раньше, и в других краях. Вавилонские писцы примерно с 300 года до нашей эры ставили особую метку на месте пропущенного разряда, но в конце числа её никогда не писали. Греческие астрономы, среди них Птолемей, писали ноль в шестидесятеричных дробях, майя придумали свой ноль независимо, а у китайцев на счётной доске место недостающего разряда просто оставалось незанятым. Но везде такой ноль был лишь пропуском в записи. Числом, с которым по правилам складывают, вычитают и умножают, его первыми, насколько можно судить по дошедшим текстам, сделали в Индии.
В посте об индийских цифрах я упоминал Брахмагупту, который в 628 году первым из известных изложил такие правила. Положительные числа этот астроном называл «имуществом», а отрицательные «долгом», так что читаются его правила почти как бухгалтерия. Если к долгу прибавить ноль, долг останется долгом, а если вычесть долг из нуля, получится имущество. Что ни умножь на ноль, будет ноль. С делением было сложнее. Ноль, делённый на ноль, Брахмагупта считал нулём, а сегодня такое деление называют неопределённым. Число же, делённое на ноль, он так и оставил дробью с нулём в знаменателе, словно отложил этот вопрос на потом.
К вопросу вернулись через двести с лишним лет. Джайнский математик Махавира, работавший на юге Индии, в своём трактате 850 года решил, что от деления на ноль число просто не меняется. Ещё через три века, около 1150 года, астроном и математик Бхаскара назвал такую дробь бесконечной величиной. Его зовут Бхаскарой II, чтобы не путать с тёзкой, который жил в VII веке. Смысл бесконечности он пояснил образом, которого трудно ждать от учебника алгебры. К бесконечной величине сколько ни прибавляй и сколько ни отнимай, она не меняется, так же как не меняется бесконечный и неизменный Бог, когда при разрушении и сотворении миров в него уходят и из него выходят сонмы существ.
В другой книге Бхаскары, «Лилавати», есть задача, за решение которой сегодня снизили бы оценку. Какое число, если умножить его на ноль, прибавить половину полученного, умножить на три и разделить на ноль, даёт 63? Бхаскара отвечает, что 14, потому что умножение и деление на ноль у него просто сокращают друг друга (14 и его половина дают 21, а 21 на три — 63). А в пояснении к задаче сказано, что этот приём часто применяют в астрономических расчётах. Похоже, для астрономов того времени это был просто рабочий инструмент.
Откуда вообще взялись индийские цифры и почему мы зовём их арабскими, я рассказывал в отдельном посте.